If f(x)=√(x−2) and g(x)=√(x+2), what is the domain of (f−g)(x)?यदि f(x)=√(x−2) और g(x)=√(x+2) हों, तो (f−g)(x) का प्रांत क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: [2,∞)[2,∞)
The governing concept is that the domain of a difference of functions is the intersection of the domains of the two functions. For f(x)=√(x−2), the radicand must be nonnegative, so x−2≥0 and therefore x≥2. For g(x)=√(x+2), we need x+2≥0, giving x≥−2. Both square roots must be real at the same input, so both conditions must hold simultaneously. Their intersection is x≥2, written in interval notation as [2,∞). Therefore option A is correct. Option B gives only the domain of g and ignores the stricter condition from f. Option C incorrectly adds an upper bound, and option D allows values that would make √(x−2) non-real.मुख्य अवधारणा यह है कि दो फलनों के अंतर का प्रांत उनके अलग-अलग प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है। f(x)=√(x−2) के लिए मूल के अंदर की राशि गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए, इसलिए x−2≥0 और x≥2 मिलता है। g(x)=√(x+2) के लिए x+2≥0 आवश्यक है, जिससे x≥−2 प्राप्त होता है। दोनों वर्गमूल एक ही x पर वास्तविक होने चाहिए, इसलिए दोनों शर्तें एक साथ पूरी करनी होंगी। इनका प्रतिच्छेद x≥2 है, जिसे अंतराल संकेत में [2,∞) लिखा जाता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B केवल g का प्रांत बताता है और f की कड़ी शर्त छोड़ देता है। विकल्प C में बिना कारण ऊपरी सीमा लगाई गई है, जबकि विकल्प D उन मानों को भी स्वीकार करता है जिन पर √(x−2) वास्तविक नहीं होता।
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