If f(x)=(x+1)/(x−1) and g(x)=(x−1)/(x+1), what is the correct domain of (fg)(x)?यदि f(x)=(x+1)/(x−1) और g(x)=(x−1)/(x+1) हों, तो (fg)(x) का सही प्रांत क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ℝ \ {−1,1}ℝ \ {−1,1}
The governing concept is that the domain of a product of functions is the intersection of the domains of the individual functions. For f(x), the denominator x−1 cannot be zero, so x ≠ 1. For g(x), the denominator x+1 cannot be zero, so x ≠ −1. Both restrictions must remain even though the algebraic product simplifies to [(x+1)(x−1)]/[(x−1)(x+1)] = 1 wherever it is defined. Hence the domain is ℝ excluding −1 and 1, making option A correct. Options B and C omit one necessary restriction; option D incorrectly permits zero denominators.मुख्य अवधारणा यह है कि दो फलनों के गुणनफल का प्रांत उनके व्यक्तिगत प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है। f(x) के हर x−1 के लिए x = 1 स्वीकार्य नहीं है, इसलिए x ≠ 1। g(x) के हर x+1 के लिए x = −1 स्वीकार्य नहीं है, इसलिए x ≠ −1। यद्यपि गुणनफल [(x+1)(x−1)]/[(x−1)(x+1)] = 1 तक सरल हो जाता है, फिर भी मूल फलनों में हर शून्य होने वाले मान वापस शामिल नहीं किए जा सकते। इसलिए प्रांत ℝ {−1,1} है और विकल्प A सही है। विकल्प B या C एक प्रतिबंध छोड़ देते हैं, जबकि विकल्प D शून्य हर वाले मानों को गलत रूप से स्वीकार करता है।
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