If (f(x)=\sqrt{x-2}) and (g(x)=x-5), what is the domain of (\frac{f}{g})?यदि (f(x)=\sqrt{x-2}) और (g(x)=x-5) हैं, तो (\frac{f}{g}) का डोमेन क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ( [2,\infty)-{5} )( [2,\infty)-{5} )
The quotient \\(\\frac{f}{g}\\) is formed by dividing \\(f(x)=\\sqrt{x-2}\\) by \\(g(x)=x-5\\). Its domain must satisfy two independent conditions: the radicand of the square root cannot be negative, and the denominator cannot be zero. Both restrictions must hold at the same time.
From \\(x-2\\ge0\\), we get \\(x\\ge2\\). From the denominator, \\(x-5\\ne0\\), so \\(x\\ne5\\). Combining these gives \\([2,\\infty)\\setminus\\{5\\}\\). The endpoint 2 is included because \\(\\sqrt{0}\\) is defined, while 5 is excluded because division by zero is impossible. Therefore option A is correct.\\(\\frac{f}{g}\\) का अर्थ है \\(f(x)=\\sqrt{x-2}\\) को \\(g(x)=x-5\\) से भाग देना। इसके डोमेन के लिए दो शर्तें एक साथ पूरी होनी चाहिए। वर्गमूल के अंदर की राशि ऋणात्मक नहीं हो सकती और भाजक शून्य नहीं हो सकता। इसलिए दोनों प्रतिबंधों को अलग-अलग जाँचकर मिलाना आवश्यक है।
\\(x-2\\ge0\\) से \\(x\\ge2\\) मिलता है। भाजक के लिए \\(x-5\\ne0\\), इसलिए \\(x\\ne5\\)। दोनों शर्तों को मिलाने पर डोमेन \\([2,\\infty)\\setminus\\{5\\}\\) है। 2 शामिल है क्योंकि \\(\\sqrt{0}\\) परिभाषित है, लेकिन 5 शामिल नहीं है क्योंकि शून्य से भाग नहीं दिया जा सकता। अतः विकल्प A सही है।
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