If (f(x)=\frac{1}{x}) and (g(x)=\frac{1}{x^2}), what is the nature of ((fg)(x))?यदि (f(x)=\frac{1}{x}) और (g(x)=\frac{1}{x^2}) हैं, तो ((fg)(x)) की प्रकृति क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Odd functionविषम फलन
The direct answer is option A: odd function. Multiply the functions: \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac1x\cdot\frac1{x^2}=\frac1{x^3}\), with domain \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). A function is odd when \(h(-x)=-h(x)\) for every allowed \(x\). Let \(h(x)=1/x^3\). Then \(h(-x)=1/(-x)^3=-1/x^3=-h(x)\), so it is odd. Option A is correct. Option B is wrong because an even function would satisfy \(h(-x)=h(x)\); that does not happen here. Option C is wrong because the sign does change and the oddness condition is satisfied. Option D is wrong because \(1/x^3\) changes with \(x\), so it is not constant. The domain is symmetric about zero, which is necessary for discussing evenness or oddness, and zero itself is simply excluded. Memory cue: an odd power in the denominator gives a sign change when \(x\) becomes \(-x\).सीधा उत्तर विकल्प A है: विषम फलन। दोनों फलनों को गुणा करें: \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac1x\cdot\frac1{x^2}=\frac1{x^3}\)। इसका प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) है। कोई फलन विषम तब होता है जब हर स्वीकार्य \(x\) के लिए \(h(-x)=-h(x)\) हो। यहाँ \(h(x)=1/x^3\) लें। तब \(h(-x)=1/(-x)^3=-1/x^3=-h(x)\), इसलिए फलन विषम है। विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है, क्योंकि सम फलन में \(h(-x)=h(x)\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। विकल्प C गलत है, क्योंकि यहाँ चिन्ह बदलता है और विषमता की शर्त पूरी होती है। विकल्प D गलत है, क्योंकि \(1/x^3\) का मान \(x\) के साथ बदलता है, इसलिए वह स्थिर नहीं है। प्रांत शून्य के चारों ओर सममित है; केवल शून्य निषिद्ध है। याद रखें: विषम घात पर \(x\) को \(-x\) करने से चिन्ह बदल जाता है।
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