If (f(x)=x^2+3x) and (g(x)=x^2-3x), what is the nature of ((f-g)(x))?यदि (f(x)=x^2+3x) और (g(x)=x^2-3x) हैं, तो ((f-g)(x)) की प्रकृति क्या होगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Odd functionविषम फलन
The direct answer is option A: an odd function. Subtract the functions carefully: \((f-g)(x)=(x^2+3x)-(x^2-3x)=x^2+3x-x^2+3x=6x\). To test parity, replace \(x\) by \(-x\): \(h(-x)=6(-x)=-6x=-h(x)\). Therefore \(h\) is odd. Option A works because \(6x\) changes sign when \(x\) changes sign. Option B is wrong because an even function satisfies \(h(-x)=h(x)\), which does not happen. Option C is wrong because \(6x\) changes with \(x\), so it is not constant. Option D is wrong because the function does satisfy the odd-function rule. A useful cue is that a linear function through the origin, such as \(6x\), is odd.सीधा उत्तर विकल्प A है: यह विषम फलन है। पहले घटाव करें: \((f-g)(x)=(x^2+3x)-(x^2-3x)=x^2+3x-x^2+3x=6x\)। अब \(x\) की जगह \(-x\) रखें: \(h(-x)=6(-x)=-6x=-h(x)\)। इसलिए फलन विषम है। विकल्प A सही है क्योंकि \(x\) का चिह्न बदलने पर \(6x\) का चिह्न भी बदलता है। विकल्प B गलत है, क्योंकि सम फलन में \(h(-x)=h(x)\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(6x\) का मान \(x\) के साथ बदलता है; यह स्थिर नहीं है। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि फलन विषम होने की शर्त पूरी करता है। याद रखने का संकेत: मूलबिंदु से गुजरने वाला \(6x\) जैसा रैखिक फलन विषम होता है।
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