If (f(x)=\frac{1}{x^2-1}) and (g(x)=x+5), what is the domain of ((f-g)(x))?यदि (f(x)=\frac{1}{x^2-1}) और (g(x)=x+5) हैं, तो ((f-g)(x)) का प्रांत क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (x\ne-1,1)(x\ne-1,1)
The direct answer is option A: all real numbers except \(x=-1\) and \(x=1\). The domain contains inputs for which both functions are defined. The function \(g(x)=x+5\) is a polynomial, so it is defined for every real number. For \(f(x)=\frac{1}{x^2-1}\), the denominator cannot be zero. Thus \(x^2-1\ne0\), so \(x^2\ne1\), giving \(x\ne-1,1\). Therefore the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\). Option A is correct because it states exactly these exclusions. Option B wrongly excludes only zero; zero actually gives a valid denominator of \(-1\). Option C includes only numbers greater than 1, although many values less than 1 are also allowed. Option D incorrectly includes the two values that make the denominator zero. Memory cue: for a reciprocal, set the denominator unequal to zero.सीधा उत्तर विकल्प A है: सभी वास्तविक संख्याएँ, सिवाय \(x=-1\) और \(x=1\) के। प्रांत में वही इनपुट आते हैं जिन पर दोनों फलन परिभाषित हों। \(g(x)=x+5\) एक बहुपद है, इसलिए यह हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। \(f(x)=\frac{1}{x^2-1}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। अतः \(x^2-1\ne0\), इसलिए \(x^2\ne1\), और \(x\ne-1,1\)। इसीलिए प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\) है। विकल्प A यही सही प्रतिबंध बताता है। विकल्प B केवल शून्य को हटाता है, जबकि शून्य रखने पर हर \(-1\) आता है और फलन परिभाषित रहता है। विकल्प C केवल 1 से बड़ी संख्याएँ देता है, जबकि अनेक छोटी संख्याएँ भी मान्य हैं। विकल्प D उन दोनों निषिद्ध मानों को भी शामिल कर देता है। याद रखें: भिन्न वाले फलन में हर को शून्य से अलग रखें।
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