If \(f(x)=x^2-2x+1\) and \(g(x)=1-x\), what is the simplified form of \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\), where (x\ne 1)?यदि \(f(x)=x^2-2x+1\) और \(g(x)=1-x\) हों, तो \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) का सरल रूप क्या है, जहाँ (x\ne 1)?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (1-x)(1-x)
The direct answer is A: \(1-x\), for \(x\ne1\). Start with \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^2-2x+1}{1-x}\). The numerator is \((x-1)^2\). The denominator is \(1-x=-(x-1)\). Hence the quotient is \(\frac{(x-1)^2}{-(x-1)}=-(x-1)=1-x\), provided \(x\ne1\). Option A is correct. Option B gives \(x-1\), which has the opposite sign; it forgets that \(1-x=-(x-1)\). Option C, \(x+1\), does not follow from either factorisation. Option D, \(x^2-1"), is not the result after cancellation and has unrelated factors. At \(x=1\), the original denominator is zero, so that value is excluded even though the simplified expression can be evaluated there. Sign check: reverse the order in a subtraction and a minus sign appears.सीधा उत्तर A है: \(1-x\), जहाँ \(x\ne1\)। पहले \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^2-2x+1}{1-x}\) लिखें। अंश \((x-1)^2\) है। हर में \(1-x=-(x-1)\) होता है। इसलिए \(\frac{(x-1)^2}{-(x-1)}=-(x-1)=1-x\), और यह प्रक्रिया \(x\ne1\) पर मान्य है। विकल्प A सही है। विकल्प B, \(x-1\), विपरीत चिह्न वाला उत्तर है; इसमें यह बात छूट गई कि \(1-x=-(x-1)\)। विकल्प C, \(x+1\), किसी सही गुणनखंडन से नहीं मिलता। विकल्प D, \(x^2-1\), काटने के बाद प्राप्त रूप नहीं है और इसके गुणनखंड अलग हैं। \(x=1\) पर मूल हर शून्य है, इसलिए वह मान निषिद्ध रहेगा, भले ही सरल व्यंजक वहाँ कोई मान दे। संकेत: घटाव का क्रम उलटने पर ऋण चिह्न अवश्य आता है।
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