If (f(x)=\frac{x+2}{x-3}) and (g(x)=x-3), what is the simplified form and domain of ((fg)(x))?यदि (f(x)=\frac{x+2}{x-3}) और (g(x)=x-3) हों, तो ((fg)(x)) का सरल रूप और डोमेन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (x+2), (x\ne 3)(x+2), (x\ne 3)
The direct answer is option A: the simplified expression is \(x+2\), with domain \(x\ne3\). Multiply the functions: \((fg)(x)=\frac{x+2}{x-3}(x-3)\). For \(x\ne3\), the non-zero factor \(x-3\) cancels, giving \(x+2\). However, the original function \(f(x)\) is undefined at \(x=3\), because its denominator becomes zero. Thus the domain remains \(\mathbb R\setminus\{3\}\). Option A is correct. Option B has the right simplified formula but incorrectly includes 3 in the domain. Option C is the wrong factor, not the product. Option D stops before simplifying and is not the requested simplified form, though it shows the original restriction. A cancelled denominator does not restore a forbidden original input. Memory cue: simplify the formula, but preserve every original domain restriction.सीधा उत्तर विकल्प A है: सरल रूप \(x+2\) और डोमेन \(x\ne3\) है। फलनों को गुणा करें: \((fg)(x)=\frac{x+2}{x-3}(x-3)\)। जब \(x\ne3\), तब अशून्य गुणक \(x-3\) कटकर \(x+2\) देता है। लेकिन मूल फलन \(f(x)\), \(x=3\) पर परिभाषित नहीं है, क्योंकि हर शून्य हो जाता है। इसलिए डोमेन \(\mathbb R\setminus\{3\}\) ही रहेगा। विकल्प A सही है। विकल्प B में सरल रूप सही है, लेकिन वह 3 को डोमेन में गलत ढंग से शामिल करता है। विकल्प C गलत गुणक है, गुणनफल नहीं। विकल्प D सरल करने से पहले का रूप है, इसलिए माँगा गया सरल रूप नहीं देता, यद्यपि उसमें प्रतिबंध दिखता है। हर काट देने से मूल निषिद्ध मान वापस मान्य नहीं होता। याद रखें: सूत्र सरल करें, पर मूल डोमेन की शर्त कभी न हटाएँ।
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