If \(f(x)=x^2-9\) and \(g(x)=x-3\), what is \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) for (x \ne 3)?यदि \(f(x)=x^2-9\) और \(g(x)=x-3\) हों, तो (x \ne 3) के लिए \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (x+3)(x+3)
The direct answer is A: \(x+3\), with \(x\ne3\). By definition, \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2-9}{x-3}\). Factor the numerator as a difference of squares: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Therefore \(\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), but cancellation is allowed only when \(x-3\ne0\), so \(x=3\) remains excluded. Option A is correct. Option B merely shows a cancelled factor and is not the simplified quotient. Option C incorrectly changes subtraction into addition. Option D, 1, would result only if numerator and denominator were identical, which they are not. Also, the simplified rule does not restore the missing value at \(x=3\). The key cue is: factor first, cancel common factors, and keep denominator restrictions.सीधा उत्तर A है: \(x+3\), जहाँ \(x\ne3\)। परिभाषा के अनुसार \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2-9}{x-3}\)। अंश को वर्गों के अंतर के रूप में लिखें: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\)। इसलिए \(\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), लेकिन काटना तभी मान्य है जब \(x-3\ne0\)। अतः \(x=3\) अभी भी प्रांत से बाहर रहेगा। विकल्प A सही है। विकल्प B केवल कटने वाले गुणनखंड को दिखाता है, सरल भागफल नहीं। विकल्प C गलत है, क्योंकि वह घटाव को जोड़ में बदल देता है। विकल्प D, 1, तभी मिलता जब अंश और हर समान होते, जो यहाँ नहीं हैं। सरल रूप लिखने के बाद भी \(x=3\) का निषेध वापस नहीं आता। परीक्षा-सूत्र: पहले गुणनखंड करें, फिर समान गुणनखंड काटें, और हर की पाबंदी न भूलें।
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