If (f(x)=4x-1) and (g(x)=x^2+2), which statement about ((g+f)(x)) and ((f+g)(x)) is correct?यदि (f(x)=4x-1) और (g(x)=x^2+2) हैं, तो ((g+f)(x)) और ((f+g)(x)) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Both are equalदोनों बराबर हैं
The direct answer is A: \((g+f)(x)=(f+g)(x)\). Function addition is defined pointwise: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus \((g+f)(x)=g(x)+f(x)\). Ordinary addition is commutative, so changing the order does not change the sum. Substituting the given functions gives \((f+g)(x)=(4x-1)+(x^2+2)=x^2+4x+1\), and \((g+f)(x)=(x^2+2)+(4x-1)=x^2+4x+1\). Option A is correct. Option B is wrong because the expressions are equal, not opposites. Option C is wrong because both functions are defined for every real number, so their domains are the same. Option D is wrong because equality holds for every real \(x\), not only at zero. Memory cue: in addition, order can be exchanged.सीधा उत्तर A है: \((g+f)(x)=(f+g)(x)\)। फलनों का जोड़ प्रत्येक \(x\) पर अलग-अलग किया जाता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((g+f)(x)=g(x)+f(x)\)। साधारण जोड़ क्रमविनिमेय होता है, अर्थात क्रम बदलने पर योग नहीं बदलता। दिए हुए फलनों से \((f+g)(x)=(4x-1)+(x^2+2)=x^2+4x+1\), और \((g+f)(x)=(x^2+2)+(4x-1)=x^2+4x+1\) मिलता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है, क्योंकि दोनों विपरीत नहीं बल्कि बराबर हैं। विकल्प C गलत है, क्योंकि दोनों फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित हैं और उनके प्रांत समान हैं। विकल्प D गलत है, क्योंकि बराबरी केवल \(x=0\) पर नहीं, हर वास्तविक \(x\) पर है। याद रखें: जोड़ में पदों का क्रम बदल सकते हैं।
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