If (f(x)=\sqrt{x-4}) and (g(x)=\sqrt{x+1}), what is the domain of ((fg)(x))?यदि (f(x)=\sqrt{x-4}) और (g(x)=\sqrt{x+1}) हों, तो ((fg)(x)) का domain क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ([4,\infty))([4,\infty))
The direct answer is option A, \\([4,\\infty)\\). For a square root to be real, its radicand must be at least zero. For \\(f(x)=\\sqrt{x-4}\\), require \\(x-4\\ge0\\), so \\(x\\ge4\\). For \\(g(x)=\\sqrt{x+1}\\), require \\(x+1\\ge0\\), so \\(x\\ge-1\\). The product \\(fg\\) is defined only where both functions are defined, so take the intersection of these two sets: \\([4,\\infty)\\cap[-1,\\infty)=[4,\\infty)\\). Option B includes values from -1 to 4 that make \\(x-4\\) negative, so it is too large. Option C contains only a bounded interval and also includes invalid values. Option D includes negative values that make square roots non-real. Endpoint 4 is included because \\(\\sqrt0\\) exists.सीधा उत्तर विकल्प A, \\([4,\\infty)\\) है। वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर की संख्या शून्य या उससे बड़ी होनी चाहिए। \\(f(x)=\\sqrt{x-4}\\) के लिए \\(x-4\\ge0\\), इसलिए \\(x\\ge4\\)। \\(g(x)=\\sqrt{x+1}\\) के लिए \\(x+1\\ge0\\), इसलिए \\(x\\ge-1\\)। गुणनफल \\(fg\\) तभी परिभाषित होगा जब दोनों फलन साथ-साथ परिभाषित हों। इसलिए दोनों domains का intersection लें: \\([4,\\infty)\\cap[-1,\\infty)=[4,\\infty)\\)। विकल्प B में -1 से 4 के बीच की ऐसी संख्याएँ भी हैं जिनसे \\(x-4\\) ऋणात्मक हो जाता है। विकल्प C सीमित interval है और इसमें भी कुछ अमान्य मान हैं। विकल्प D में सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, पर कई संख्याओं पर वर्गमूल वास्तविक नहीं होगा। 4 शामिल है क्योंकि \\(\\sqrt0\\) परिभाषित है।
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