Six distinct keys are assigned to six distinct locks. In how many ways will no key go to its correct lock?छह अलग-अलग चाबियों को छह अलग-अलग तालों में लगाया जाता है। कितने तरीकों में कोई भी चाबी अपने सही ताले में नहीं लगेगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 265265
This is a derangement problem: six distinct keys must be assigned to six distinct locks, with every key forbidden from its matching lock. The number of derangements of n objects is written as !n. It can be calculated using the recurrence !n = (n − 1)[!(n − 1) + !(n − 2)], or by inclusion–exclusion. Starting with !0 = 1 and !1 = 0, we obtain !2 = 1, !3 = 2, !4 = 9, and !5 = 44. Therefore !6 = 5(44 + 9) = 265. Thus option A is correct. Option D, 720 = 6!, counts every assignment, including assignments in which some keys are correct. The other numerical options do not satisfy the derangement recurrence.यह पूर्णतः गलत मिलान अर्थात् derangement की समस्या है। छह अलग-अलग चाबियों को छह अलग-अलग तालों में लगाना है और प्रत्येक चाबी को अपने सही ताले से अलग रखना है। n वस्तुओं के derangement को !n से दर्शाते हैं और इसके लिए पुनरावृत्ति !n = (n − 1)[!(n − 1) + !(n − 2)] प्रयोग की जा सकती है। !0 = 1 और !1 = 0 से क्रमशः !2 = 1, !3 = 2, !4 = 9 तथा !5 = 44 मिलते हैं। अतः !6 = 5(44 + 9) = 265 होगा। इसलिए विकल्प A सही है। 720 = 6! सभी सम्भव व्यवस्थाएँ गिनता है, जिनमें कुछ चाबियाँ सही ताले में भी हो सकती हैं। विकल्प B और C derangement की गणना से प्राप्त नहीं होते।
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