(3) different prizes are to be given to (6) students, and no student can receive more than one prize. How many ways are possible?(6) विद्यार्थियों को (3) अलग-अलग पुरस्कार दिए जाने हैं और कोई विद्यार्थी एक से अधिक पुरस्कार नहीं पाएगा। कितने तरीके संभव हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (120)(120)
The direct answer is C: 120. The three prizes are different, so assigning prize 1, prize 2 and prize 3 is an ordered selection of three different students. Choose the recipient of the first prize in 6 ways, the second in 5 ways, and the third in 4 ways. The total is \(6\times5\times4={}^{6}P_3=120\). Option C is correct. Option A, 18, is too small. Option B, 60, does not count all assignments. Option D, 216, is \(6^3\) and would allow one student to receive multiple prizes, which the question forbids. Since prizes are distinct, order matters even though recipients cannot repeat.सीधा उत्तर C: 120 है। तीनों पुरस्कार अलग-अलग हैं, इसलिए प्रथम, द्वितीय और तृतीय पुरस्कार पाने वाले विद्यार्थियों का क्रम महत्वपूर्ण है। पहले पुरस्कार के लिए 6 विकल्प, दूसरे के लिए 5 और तीसरे के लिए 4 विकल्प होंगे। इसलिए कुल \(6\times5\times4={}^{6}P_3=120\)। विकल्प C सही है। विकल्प A का 18 बहुत कम है। विकल्प B का 60 सभी assignments को नहीं गिनता। विकल्प D का 216 \(6^3\) है और इसमें एक विद्यार्थी को एक से अधिक पुरस्कार मिल सकता है, जबकि प्रश्न में ऐसा मना है। अलग पुरस्कार दिखें तो permutation लगाएँ; विद्यार्थी दोबारा नहीं चुना जाएगा।
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