How many distinct arrangements are possible using the letters of INDEPENDENCE?शब्द INDEPENDENCE के अक्षरों की अलग-अलग व्यवस्थाएं कितनी होंगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 16632001663200
The repeated-letter permutation formula is n!/(p!q!r!...) because rearrangements of identical letters do not produce new words. INDEPENDENCE has 12 letters: E occurs 4 times, N occurs 3 times, D occurs 2 times, and I, P, C occur once each. Thus the number of distinct arrangements is 12!/(4! × 3! × 2!). Compute 12! = 479,001,600 and 4! × 3! × 2! = 24 × 6 × 2 = 288. Therefore 479,001,600/288 = 1,663,200. Option A is correct. Ignoring any repeated group would produce an overcount, while dividing by an extra factor would undercount the valid arrangements.समान अक्षरों की अदला-बदली से नई व्यवस्था नहीं बनती, इसलिए दोहराए गए अक्षरों वाले शब्द के लिए n!/(p!q!r!...) का सूत्र प्रयोग किया जाता है। INDEPENDENCE में 12 अक्षर हैं: E चार बार, N तीन बार और D दो बार आता है; I, P तथा C एक-एक बार आते हैं। इसलिए अलग-अलग व्यवस्थाओं की संख्या 12!/(4! × 3! × 2!) होगी। 12! = 479,001,600 तथा 4! × 3! × 2! = 24 × 6 × 2 = 288 है। अतः 479,001,600/288 = 1,663,200। इसलिए विकल्प A सही है। किसी दोहराए गए अक्षर-समूह से भाग न देने पर संख्या अधिक आएगी, जबकि अतिरिक्त भाज्य से भाग देने पर सही व्यवस्थाओं की संख्या कम हो जाएगी।
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