(9) distinct objects are to be arranged in a row. If one particular object is always in the last position, how many arrangements are possible?(9) अलग-अलग वस्तुओं को पंक्ति में रखना है। यदि एक विशेष वस्तु हमेशा अंतिम स्थान पर रहे तो व्यवस्थाएं कितनी होंगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (40320)(40320)
The specified object must remain in the last position, so that position is fixed and contributes only one possibility. The other eight distinct objects can be arranged freely in the first eight positions. Their number of arrangements is \(8!=8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=40320\).
We should not use \(9!\), because that would count arrangements in which the special object appears in positions other than the last. Fixing one position leaves a permutation of the remaining eight objects. Therefore the total number of valid arrangements is 40320, which is option B. The value 362880 in option A is \(9!\), so it ignores the restriction.विशेष वस्तु को हमेशा अंतिम स्थान पर रखना है, इसलिए अंतिम स्थान निश्चित है और उसके लिए केवल एक संभावना होगी। बाकी 8 अलग-अलग वस्तुओं को पहले 8 स्थानों पर किसी भी क्रम में रखा जा सकता है। इनकी व्यवस्थाओं की संख्या \(8!=8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=40320\) है।
यहाँ \(9!\) लेना सही नहीं होगा, क्योंकि उससे विशेष वस्तु को अंतिम स्थान के अलावा अन्य स्थानों पर भी रखने वाली व्यवस्थाएँ गिनी जाएँगी। एक स्थान निश्चित करने के बाद केवल बची हुई 8 वस्तुओं का क्रमचय करना है। इसलिए कुल व्यवस्थाएँ 40320 हैं और सही विकल्प B है। विकल्प A का 362880 वास्तव में \(9!\) है, जिसमें शर्त की उपेक्षा होती है।
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