(6)-digit numbers are to be formed from (6) distinct digits. If one particular digit always stays in the third position, how many numbers are possible?(6) अलग-अलग अंकों से (6) अंकों की संख्याएं बनानी हैं। यदि एक विशेष अंक हमेशा तीसरे स्थान पर रहे तो कितनी संख्याएं बनेंगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (120)(120)
One particular digit is required to occupy the third position, so that position has only one possible choice. The remaining five distinct digits must be arranged in the other five positions. The first of those positions can be filled in 5 ways, the next in 4 ways, and so on, giving \(5\times4\times3\times2\times1=5!=120\).
There is no extra choice for the fixed digit, because it is already specified. Thus we do not use \(6!\), which would incorrectly allow that digit to move. Also, since the problem says the digits are distinct and asks for six-digit numbers formed from them, the arrangement count is exactly the permutation of the remaining five digits. Hence the answer is 120, option A.एक विशेष अंक को तीसरे स्थान पर रखना निश्चित है, इसलिए उस स्थान के लिए केवल एक ही व्यवस्था संभव है। बाकी पाँच अलग-अलग अंकों को बचे हुए पाँच स्थानों पर सजाना है। पहले स्थान के लिए 5 विकल्प, फिर 4, फिर 3, 2 और 1 विकल्प होंगे। इसलिए कुल व्यवस्थाएँ \(5\times4\times3\times2\times1=5!=120\) हैं।
निश्चित अंक के लिए अलग से कोई विकल्प नहीं गिना जाएगा, क्योंकि उसका स्थान पहले ही तय है। इसलिए \(6!\) लेना गलत होगा; ऐसा करने पर वह अंक तीसरे स्थान से हटने की अनुमति मिल जाएगी। शेष पाँच अंकों का क्रमचय ही पर्याप्त है। अतः छह-अंकीय संख्याओं की संख्या 120 है और सही विकल्प A है।
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