How many (4)-letter codes can be formed from (7) distinct letters if repetition is not allowed?(7) अलग-अलग अक्षरों से (4) अक्षरों के गुप्त-कोड कितने बनेंगे यदि पुनरावृत्ति नहीं है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (840)(840)
The direct answer is option A: 840 codes. A code has positions, so changing the order creates a new code. There are 7 choices for the first position, 6 for the second because repetition is forbidden, then 5 and 4. By multiplication, the total is \(7\times6\times5\times4=840\), or \({}^{7}P_4=\frac{7!}{3!}\). Option A is correct. Option B, 35, equals \(\binom{7}{4}\), which chooses four letters but ignores their order; that is unsuitable for codes. Option C, 2401, equals \(7^4\) and allows a letter to be repeated in every position, contrary to the condition. Option D, 210, is not the required ordered product and does not count all possible position sequences. The key distinction is that selection asks only who is chosen, while a code also records position. Memory cue: no repetition plus ordered code means \({}^{n}P_r\).सीधा उत्तर विकल्प A: 840 कोड है। कोड में स्थान महत्वपूर्ण होते हैं, इसलिए अक्षरों का क्रम बदलने पर नया कोड बनता है। पहले स्थान के लिए 7 विकल्प हैं, फिर पुनरावृत्ति न होने के कारण 6, फिर 5 और फिर 4 विकल्प बचते हैं। गुणन नियम से कुल \(7\times6\times5\times4=840\), अर्थात \({}^{7}P_4=\frac{7!}{3!}\) कोड बनेंगे। विकल्प A सही है। विकल्प B का 35, \(\binom{7}{4}\), केवल चार अक्षरों का चयन करता है और उनका क्रम नहीं गिनता। विकल्प C का 2401, \(7^4\), हर स्थान पर पुनरावृत्ति की अनुमति देता है, जो प्रश्न के विरुद्ध है। विकल्प D का 210 आवश्यक क्रमबद्ध गुणनफल नहीं है और सभी कोड नहीं गिनता। याद रखें: केवल समूह चुनना combination है, लेकिन क्रम वाले बिना-पुनरावृत्ति के कोड के लिए permutation \({}^{n}P_r\) लगता है।
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