How many (5)-digit numbers can be formed from (1,2,3,4,5,6,7) without repetition and ending in (5)?अंकों (1,2,3,4,5,6,7) से बिना पुनरावृत्ति (5) अंकों की कितनी संख्याएं बनेंगी जो (5) पर समाप्त हों?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (360)(360)
The direct answer is option A, 360. The units digit is fixed as 5, so the number automatically ends in 5. We must fill the remaining four positions using four different digits from the other six digits: 1, 2, 3, 4, 6, and 7. The first remaining position has 6 choices, then 5, then 4, then 3 choices. Therefore the count is ^6P_4=6×5×4×3=360. Option A is correct. Option B, 720, is twice the correct count and would overcount the arrangements. Option C, 120, is 5!, not the required selection and arrangement from six available digits. Option D, 840, has no valid count for these restrictions. The fixed final digit is not chosen again, and no repetition is allowed. Memory cue: fix the required last digit first, then permute the remaining available digits into the empty positions.सीधा उत्तर विकल्प A, 360 है। इकाई अंक 5 निश्चित है, इसलिए संख्या का अंत 5 से होगा। अब बाकी चार स्थानों को अन्य छह अंकों 1, 2, 3, 4, 6 और 7 में से बिना दोहराव के भरना है। पहले खाली स्थान के लिए 6 विकल्प, फिर 5, फिर 4 और अंत में 3 विकल्प होंगे। इसलिए कुल ^6P_4=6×5×4×3=360 तरीके हैं। विकल्प A सही है। विकल्प B, 720, सही संख्या से दोगुना है और व्यवस्थाओं को अधिक गिनता है। विकल्प C, 120, 5! है, लेकिन यहाँ छह उपलब्ध अंकों में से चार का क्रमबद्ध चयन करना है। विकल्प D, 840, इन शर्तों से प्राप्त नहीं होता। अंतिम अंक पहले ही 5 तय है, उसे दोबारा नहीं चुनना है और किसी अंक की पुनरावृत्ति नहीं करनी है। याद रखने की विधि: आवश्यक अंतिम अंक पहले तय करें, फिर बचे हुए खाली स्थानों में उपलब्ध अंकों का permutation करें।
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