8 students are to be seated in a row, but two particular students must not sit together. How many arrangements are possible?8 विद्यार्थियों को एक पंक्ति में बैठाना है, लेकिन दो विशेष विद्यार्थी साथ-साथ नहीं बैठ सकते। कितनी व्यवस्थाएं संभव हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 3024030240
Use the complementary-counting method within permutations. First count all unrestricted arrangements of the 8 distinct students: 8! = 40320. Now count arrangements in which the two specified students sit together. Treat them as one block; this gives 7 units, which can be arranged in 7! ways, and the two students can switch places within their block in 2! ways. Thus together arrangements equal 7! × 2! = 10080. Subtracting from the total gives 40320 − 10080 = 30240. Therefore option A is correct. Option B is the unrestricted total, option C is the forbidden count, and option D results from an incorrect subtraction.यहां क्रमचय के साथ पूरक-गणना विधि का प्रयोग करना सबसे उचित है। बिना किसी प्रतिबंध के 8 अलग विद्यार्थियों की व्यवस्थाएं 8! = 40320 होंगी। अब उन व्यवस्थाओं को गिनें जिनमें दोनों विशेष विद्यार्थी साथ बैठते हैं। दोनों को एक ब्लॉक मानने पर कुल 7 इकाइयां मिलती हैं, जिन्हें 7! तरीकों से सजाया जा सकता है। ब्लॉक के भीतर दोनों विद्यार्थी 2! तरीकों से स्थान बदल सकते हैं। अतः साथ बैठने वाली व्यवस्थाएं 7! × 2! = 10080 हैं। इसलिए वांछित संख्या 40320 − 10080 = 30240 है और विकल्प A सही है। विकल्प B कुल अप्रतिबंधित संख्या, विकल्प C निषिद्ध संख्या है; विकल्प D गलत घटाव से मिलता है।
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