In a race with (7) runners, in how many ways can first and second places occur?किसी दौड़ में (7) धावकों में से प्रथम और द्वितीय स्थान कितने तरीकों से आ सकते हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (42)(42)
The direct answer is option D: 42 ways. First place and second place are different positions, so order matters. For first place there are 7 choices. After one runner is selected, 6 runners remain for second place. By the multiplication principle, the total is \(7\times6=42\), equivalently \({}^{7}P_2=\frac{7!}{(7-2)!}=42\). Option D is correct. Option A, 14, does not count all ordered pairs. Option B, 21, is \(\binom{7}{2}\), which counts pairs when order does not matter; it would be suitable for simply choosing two runners, not ranking them. Option C, 28, has no correct permutation interpretation here and is only half of 56. Since first and second are ranked, swapping the two runners creates a different result. Memory cue: positions, ranks, and arrangements usually mean permutation; use choices multiplied in order.सीधा उत्तर विकल्प D है: 42 तरीके। प्रथम और द्वितीय स्थान अलग-अलग पद हैं, इसलिए क्रम महत्वपूर्ण है। प्रथम स्थान के लिए 7 धावकों में से कोई एक चुना जा सकता है। उसके बाद द्वितीय स्थान के लिए 6 धावक बचते हैं। गुणन सिद्धांत से कुल तरीके \(7\times6=42\) होंगे। इसे \({}^{7}P_2=\frac{7!}{(7-2)!}=42\) भी लिख सकते हैं। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प A, 14, सभी क्रमबद्ध जोड़ियों को नहीं गिनता। विकल्प B, 21, \(\binom{7}{2}\) है; यह केवल दो धावक चुनने की संख्या है, जहाँ क्रम मायने नहीं रखता, जबकि दौड़ में रैंक मायने रखती है। विकल्प C, 28, इस प्रश्न के लिए कोई सही गणना नहीं देता। यदि दो धावकों की जगह बदल दें, तो प्रथम-द्वितीय का परिणाम बदल जाता है। याद रखें: स्थान, रैंक और व्यवस्था वाले प्रश्नों में permutation लगता है; क्रम से विकल्पों को गुणा करें।
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