On a library shelf choose (1) mathematics book from (3), (1) science book from (4), and (2) history books from (5) in order. The two history books are different. How many arrangements are possible?एक पुस्तकालय शेल्फ पर (3) गणित की पुस्तकों में से (1), (4) विज्ञान की पुस्तकों में से (1) और (5) इतिहास की पुस्तकों में से (2) पुस्तकों को क्रम सहित रखना है। इतिहास की दोनों पुस्तकें अलग होंगी। कुल कितने क्रम संभव हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (3 \times 4 \times 5 \times 4=240)(3 \times 4 \times 5 \times 4=240)
Direct answer: option A is correct, giving 240 arrangements. First choose 1 mathematics book from 3: 3 choices. Then choose 1 science book from 4: 4 choices. For history, choose and arrange 2 different books from 5: 5 choices for the first history position and 4 for the second, giving \(5\times4=20\). By the fundamental counting principle, multiply the independent stages: \(3\times4\times5\times4=240\). Option A shows this exact calculation. Option B uses \(3\times4\times10=120\); 10 is the number of unordered pairs from 5, but the question says “in order,” so each pair has two possible orders and must be counted as 20. Option C, \(3\times4\times5=60\), forgets the second ordered history choice. Option D adds choices instead of multiplying them, although every stage must be completed. Memory cue: sequential choices multiply; ordered selection of two from five is \(5\times4\), not \(\binom52\).सीधा उत्तर: विकल्प A सही है और कुल 240 व्यवस्थाएं होंगी। पहले 3 गणित की पुस्तकों में से 1 चुनने के 3 विकल्प हैं। फिर 4 विज्ञान पुस्तकों में से 1 चुनने के 4 विकल्प हैं। इतिहास की 5 अलग पुस्तकों में से क्रम सहित 2 चुननी हैं: पहले स्थान के लिए 5 विकल्प और दूसरे के लिए बची हुई 4 पुस्तकें, यानी \(5\times4=20\)। गुणन सिद्धांत से स्वतंत्र चरणों को गुणा करें: \(3\times4\times5\times4=240\)। विकल्प A यही सही गणना देता है। विकल्प B में \(3\times4\times10=120\) है; 10, 5 में से 2 चुनने के बिना-क्रम वाले युग्मों की संख्या है, लेकिन यहाँ क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए हर युग्म के दो क्रम होंगे और संख्या 20 बनेगी। विकल्प C दूसरे इतिहास-स्थान के 4 विकल्प भूलकर केवल 60 देता है। विकल्प D जोड़ता है, जबकि सभी चरण पूरे करने हैं और ऐसे मामलों में विकल्प गुणा किए जाते हैं। याद रखें: क्रमिक चुनावों में गुणा होता है; पाँच में से क्रम सहित दो चुनाव \(5\times4\) हैं, केवल \(\binom52\) नहीं।
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