How many functions from a (4)-element set to a (5)-element set are not one-one?(4) तत्वों वाले समुच्चय से (5) तत्वों वाले समुच्चय में कितने फलन ऐसे होंगे जो एकैकी नहीं हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (505)(505)
A function from a 4-element set to a 5-element set assigns one target element to each of the four source elements. For each source element there are 5 choices, and the choices are independent, so the total number of functions is \(5^4\). A one-one function uses different target elements for different source elements; its count is the permutation number \({}^{5}P_4\). Subtracting gives the functions that are not one-one.
Calculate the total: \(5^4=625\). Calculate the injective functions: \({}^{5}P_4=5\times4\times3\times2=120\). Hence the number that are not one-one is \(625-120=505\). Therefore option B is correct. The result is not found by subtracting only one or two arrangements; every non-injective function is included in the difference between all functions and one-one functions.4 तत्वों वाले समुच्चय से 5 तत्वों वाले समुच्चय में फलन बनाने के लिए स्रोत के प्रत्येक तत्व के सामने 5 विकल्प होते हैं। ये चुनाव स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल फलनों की संख्या \(5^4\) होगी। एकैकी फलन में अलग-अलग स्रोत तत्वों की छवियाँ अलग होनी चाहिए; इसकी संख्या \({}^{5}P_4\) होती है। दोनों संख्याओं का अंतर गैर-एकैकी फलनों की संख्या देता है।
कुल फलन \(5^4=625\) हैं। एकैकी फलनों की संख्या \({}^{5}P_4=5\times4\times3\times2=120\) है। इसलिए गैर-एकैकी फलनों की संख्या \(625-120=505\) होगी। अतः विकल्प B सही है। यह अंतर सभी फलनों में से एकैकी फलनों को हटाता है, इसलिए हर गैर-एकैकी फलन इसमें शामिल हो जाता है।
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