How many distinct arrangements can be made using the letters of (ALGEBRA) if the two (A)'s are together?शब्द (ALGEBRA) के अक्षरों से कितने भिन्न क्रम बनेंगे जिनमें दोनों (A) साथ-साथ हों?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (720)(720)
The word has seven letters: A, A, L, G, E, B and R. The two A’s are identical, and the condition requires them to remain next to each other. Treat the pair AA as one single block. The objects to arrange are then the block AA together with L, G, E, B and R, making six distinct objects in all.
These six objects can be arranged in \(6!\) ways because every object is different from the others. The block itself has no internal order to multiply by, since both letters inside it are identical A’s; changing one A with the other makes no new arrangement. Thus the number is \(6!=720\). Therefore option D is correct. A factor of 2 would be needed only if the two letters inside the block were different.इस शब्द में कुल सात अक्षर हैं: A, A, L, G, E, B और R। दोनों A एक जैसे हैं और उन्हें साथ-साथ रखना है। इसलिए दोनों A को एक ही ब्लॉक AA मान लेते हैं। अब व्यवस्थित की जाने वाली वस्तुएँ हैं—AA ब्लॉक, L, G, E, B और R। इस प्रकार कुल छह अलग-अलग वस्तुएँ बनती हैं।
इन छह वस्तुओं को \(6!\) तरीकों से सजाया जा सकता है, क्योंकि सभी वस्तुएँ एक-दूसरे से भिन्न हैं। AA ब्लॉक के भीतर अलग क्रम गिनने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि दोनों A समान हैं; उनका स्थान बदलने से नया विन्यास नहीं बनता। इसलिए संख्या \(6!=720\) है और विकल्प D सही है। यदि ब्लॉक के दोनों अक्षर अलग होते, तभी अंदरूनी क्रम के लिए अतिरिक्त गुणक चाहिए होता।
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