A four-letter code is formed from (P,Q,R,S,T). Repetition is not allowed and (P) and (Q) must not be adjacent. How many codes are possible?एक चार-अक्षरी कोड (P,Q,R,S,T) से बनता है। पुनरावृत्ति नहीं है और (P) तथा (Q) साथ-साथ नहीं आने चाहिए। कुल कोड कितने होंगे?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 8484
Without the adjacency restriction, the number of four-letter codes is \(^{5}P_{4}=5\times4\times3\times2=120\). Now subtract the codes in which P and Q are adjacent. Treat P and Q as one block. The other two letters can be selected from the remaining three letters in 3 ways. For each selection, the three units can be arranged in \(3!\) ways, and the block can be PQ or QP in 2 ways. Thus, the forbidden codes are \(3\times3!\times2=36\). Hence, the required number is \(120-36=84\). The value 72 can result from incorrectly counting arrangements of all five letters instead of four-letter codes. Exam tip: for a “not adjacent” condition, use total arrangements minus the forbidden adjacent arrangements.पहले बिना किसी प्रतिबंध के 5 अक्षरों में से 4 अक्षरों के कोडों की संख्या \(^{5}P_{4}=5\times4\times3\times2=120\) है। अब उन कोडों को घटाएँ जिनमें P और Q साथ हों। P तथा Q को एक ब्लॉक मानने पर, शेष 3 अक्षरों में से 2 चुनने के 3 तरीके हैं। प्रत्येक चयन के लिए 3 इकाइयों को \(3!\) तरीकों से तथा ब्लॉक के भीतर PQ या QP को 2 तरीकों से रखा जा सकता है। अतः निषिद्ध कोड \(3\times3!\times2=36\) हैं। इसलिए आवश्यक कोड \(120-36=84\) हैं। 72 केवल सभी 5 अक्षरों की व्यवस्था में P और Q के साथ होने की संख्या घटाने जैसी गलत गिनती से आ सकता है। परीक्षा टिप: ‘साथ नहीं’ वाले प्रश्नों में अक्सर कुल व्यवस्थाएँ − निषिद्ध व्यवस्थाएँ विधि सबसे सरल रहती है।
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