An online form has (5) optional sections. Each section may be filled or left blank, but at least one must be filled. If sections (1) and (2) cannot both be filled, how many ways are possible?एक ऑनलाइन प्रपत्र में (5) वैकल्पिक खंड हैं। प्रत्येक खंड भरा या खाली छोड़ा जा सकता है, पर कम से कम एक खंड भरना अनिवार्य है। यदि पहला और दूसरा खंड साथ-साथ नहीं भरे जा सकते, तो कुल तरीके कितने हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (23)(23)
Each of the five sections has two choices: filled or blank. Without any restriction, the multiplication principle gives two choices for each section, so there are \(2^5=32\) patterns. However, the completely blank form is not allowed, so one pattern must be removed. This leaves \(32-1=31\) nonempty patterns.
Now exclude the patterns in which both the first and second sections are filled. Once those two sections are fixed as filled, each of the remaining three sections can independently be filled or left blank, giving \(2^3=8\) forbidden patterns. Therefore the required number is \(31-8=23\). Thus option C is correct. Option 22 would result from an incorrect subtraction, while 24 does not account properly for the restrictions.पाँचों खंडों में प्रत्येक के लिए दो विकल्प हैं—भरा हुआ या खाली। यदि कोई प्रतिबंध न हो, तो गुणन सिद्धांत से कुल तरीके \(2^5=32\) होंगे। इनमें वह एक तरीका भी शामिल है जिसमें सभी खंड खाली हैं, लेकिन प्रश्न में कम से कम एक खंड भरना अनिवार्य है। इसलिए उस एक तरीके को हटाकर \(32-1=31\) गैर-रिक्त चयन मिलते हैं।
अब उन चयन को हटाना है जिनमें पहला और दूसरा खंड दोनों भरे हों। इन दोनों को भरा हुआ निश्चित करने के बाद बाकी तीन खंडों के लिए \(2^3=8\) तरीके होंगे। अतः मान्य तरीकों की संख्या \(31-8=23\) है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प 22 या 24 में किसी प्रतिबंध को गलत ढंग से गिना गया है।
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