Which expression gives the number of non-empty selections from 6 distinct coins?6 अलग-अलग सिक्कों में से की जाने वाली अशून्य चयन-संख्या किस व्यंजक से प्राप्त होगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 2⁶ - 12⁶ - 1
For each of the 6 distinct coins, there are exactly two independent choices: include it in the selection or leave it out. By the fundamental principle of counting, the total number of subsets is therefore 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶. This total includes the empty selection, in which no coin is chosen. Removing that one case gives 2⁶ − 1 = 63 non-empty selections. Hence option C is correct. The expression 6! − 1 counts neither subsets nor selections correctly, because factorial concerns arrangements. ⁶P₁ counts only one-coin ordered choices, while ⁶C₂ counts selections of exactly two coins, not all possible non-empty sizes.प्रत्येक अलग सिक्के के लिए दो स्वतंत्र विकल्प हैं: उसे चयन में लेना या छोड़ देना। गुणन के मूल सिद्धान्त के अनुसार कुल उपसमुच्चयों की संख्या 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶ होगी। इस गणना में वह एक स्थिति भी शामिल है जिसमें कोई सिक्का नहीं चुना जाता, अर्थात् रिक्त चयन। अशून्य चयन पाने के लिए इस एक स्थिति को घटाना आवश्यक है, इसलिए संख्या 2⁶ − 1 = 63 है। अतः विकल्प C सही है। 6! − 1 व्यवस्थाओं से सम्बन्धित है और सभी चयन नहीं गिनता। ⁶P₁ केवल एक सिक्के के क्रमबद्ध चयन गिनता है, जबकि ⁶C₂ केवल ठीक दो सिक्कों के चयन की संख्या बताता है, सभी सम्भव आकारों के अशून्य चयन की नहीं।
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