What is the simplified form of (n+6)!/(n+3)! − (n+5)!/(n+2)!?(n+6)!/(n+3)! − (n+5)!/(n+2)! का सरल रूप क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 3(n+5)(n+4)3(n+5)(n+4)
The governing concept is expansion and cancellation of factorials. For the first quotient, (n+6)!/(n+3)! leaves the factors (n+6)(n+5)(n+4). For the second quotient, (n+5)!/(n+2)! leaves (n+5)(n+4)(n+3). Therefore the difference is (n+6)(n+5)(n+4)−(n+5)(n+4)(n+3). Factor out the common expression (n+5)(n+4), obtaining (n+5)(n+4)[(n+6)−(n+3)]. The bracket equals 3, so the result is 3(n+5)(n+4), making option B correct. Option A incorrectly uses a difference of 2, while C and D do not follow from the two remaining consecutive factors. The method avoids unnecessarily expanding the factorials into large products.यह प्रश्न फैक्टोरियल को आवश्यक सीमा तक खोलकर सामान्य गुणनखंड निकालने के सिद्धान्त पर आधारित है। पहले भाग में (n+6)!/(n+3)! = (n+6)(n+5)(n+4) होगा। दूसरे भाग में (n+5)!/(n+2)! = (n+5)(n+4)(n+3) होगा। अतः पूरा व्यंजक (n+6)(n+5)(n+4)−(n+5)(n+4)(n+3) है। दोनों पदों में सामान्य गुणनखंड (n+5)(n+4) है, इसलिए इसे बाहर निकालने पर (n+5)(n+4)[(n+6)−(n+3)] मिलता है। कोष्ठक का मान 3 है, इसलिए सरल रूप 3(n+5)(n+4) और सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प A में अंतर 2 लेना गलत है, जबकि C और D का कोई वैध सरलीकरण-आधार नहीं है।
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