How many factors remain in the expansion of \( \frac{(2n+3)!}{(2n-1)!} \)?\( \frac{(2n+3)!}{(2n-1)!} \) के विस्तार में कितने गुणक बचते हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 44
Expanding the numerator down to the denominator factorial gives \((2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)(2n)(2n-1)!\). Cancelling \((2n-1)!\) leaves four factors: \((2n+3),(2n+2),(2n+1)\), and \(2n\). Hence, the correct answer is 4. Option 5 is incorrect because the difference between the factorial indices is \((2n+3)-(2n-1)=4\). Exam tip: in \(a!/b!\), where \(a>b\), the number of factors left is \(a-b\).अंश को हर के फैक्टोरियल तक फैलाने पर \((2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)(2n)(2n-1)!\) प्राप्त होता है। हर का \((2n-1)!\) कटने पर चार गुणक बचते हैं: \((2n+3),(2n+2),(2n+1)\) और \(2n\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि फैक्टोरियल के सूचकांकों का अंतर \((2n+3)-(2n-1)=4\) है। परीक्षा टिप: \(a!/b!\), जहाँ \(a>b\), में बचे गुणकों की संख्या \(a-b\) होती है।
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