What is the smallest positive integer n for which n! is divisible by 2^9 × 3^3 × 5^2?सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक n कौन-सा है जिसके लिए n!, 2^9 × 3^3 × 5^2 से विभाज्य है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 1212
The governing concept is the prime-exponent method for factorials, also called Legendre’s formula. We need v₂(n!) ≥ 9, v₃(n!) ≥ 3, and v₅(n!) ≥ 2. For 11!, v₂(11!) = ⌊11/2⌋ + ⌊11/4⌋ + ⌊11/8⌋ = 5 + 2 + 1 = 8, so the required power 2^9 is still missing. Also, v₃(11!) = 3 + 1 = 4 and v₅(11!) = 2, so those conditions are already met. On multiplying by 12, the factor 12 contributes two more powers of 2, giving v₂(12!) = 10. Thus 12! satisfies every condition, while 11! does not. Therefore option D, 12, is correct; 9, 10, and 11 fail the power-of-2 requirement.यह प्रश्न फैक्टोरियल में अभाज्य गुणनखंडों की घात गिनने के सिद्धान्त पर आधारित है, जिसे लेजांद्र का सूत्र भी कहते हैं। हमें v₂(n!) ≥ 9, v₃(n!) ≥ 3 और v₅(n!) ≥ 2 चाहिए। 11! के लिए v₂(11!) = ⌊11/2⌋ + ⌊11/4⌋ + ⌊11/8⌋ = 5 + 2 + 1 = 8 है, इसलिए 2^9 की आवश्यकता पूरी नहीं होती। दूसरी ओर v₃(11!) = 3 + 1 = 4 और v₅(11!) = 2 हैं, इसलिए 3 और 5 की शर्तें पूरी हैं। 11! को 12 से गुणा करने पर 12 में 2 के दो गुणनखंड मिलते हैं और v₂(12!) = 10 हो जाता है। अतः 12! सभी शर्तें पूरी करता है, जबकि 11! नहीं करता। इसलिए सही उत्तर विकल्प D, अर्थात 12 है; 9, 10 और 11 अपर्याप्त हैं।
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