What is the simplified form of \( \frac{(n+2)!}{n!}+\frac{n!}{(n-2)!} \)?\( \frac{(n+2)!}{n!}+\frac{n!}{(n-2)!} \) का सरल रूप क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(2n^2+2n+2\)\(2n^2+2n+2\)
Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)=n^2+3n+2\). Also, \(n!=n(n-1)(n-2)!\), so \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=n^2-n\). Adding gives \(n^2+3n+2+n^2-n=2n^2+2n+2\). Option A misses the constant term \(2\). Exam tip: in factorial quotients, cancel the common factorial first and then expand the remaining consecutive factors.\((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)=n^2+3n+2\)। इसी प्रकार, \(n!=n(n-1)(n-2)!\), अतः \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=n^2-n\)। दोनों पदों को जोड़ने पर \(n^2+3n+2+n^2-n=2n^2+2n+2\) मिलता है। विकल्प A में स्थिर पद \(2\) छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें।
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