If ((n!)²)/((n−1)!(n+1)!) = 11/12, what is the value of n?यदि ((n!)²)/((n−1)!(n+1)!) = 11/12, तो n का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 1111
Answer: 11, so option B is correct. Simplify the factorials using n!=n(n−1)! and (n+1)!=(n+1)n!. The left side is [n(n−1)!·n!]/[(n−1)!(n+1)n!]. The common factors (n−1)! and n! cancel, leaving n/(n+1). Therefore n/(n+1)=11/12. Cross-multiply: 12n=11(n+1)=11n+11, so n=11. Substitution gives 11/12, confirming the result. Option A would give 10/11, option C would give 12/13, and option D would give 13/14; none equals 11/12. A useful warning is that n! is not n+n or n×n: it is the product 1×2×…×n. Writing neighboring factorials in terms of a common factorial makes the cancellation clear.उत्तर: 11, इसलिए विकल्प B सही है। फैक्टोरियल के संबंध n!=n(n−1)! और (n+1)!=(n+1)n! का उपयोग करें। बायाँ पक्ष [n(n−1)!·n!]/[(n−1)!(n+1)n!] बनता है। इसमें (n−1)! और n! समान गुणक हैं, इसलिए वे कट जाते हैं और परिणाम n/(n+1) मिलता है। अब n/(n+1)=11/12। क्रॉस-गुणा करने पर 12n=11(n+1)=11n+11 होगा, इसलिए n=11। जाँच में n=11 रखने पर अनुपात 11/12 ही मिलता है। विकल्प A से 10/11, विकल्प C से 12/13 और विकल्प D से 13/14 प्राप्त होते हैं; इनमें से कोई भी 11/12 नहीं है। ध्यान रखें कि n! का अर्थ n+n या n×n नहीं, बल्कि 1×2×3×…×n होता है। पास-पास के फैक्टोरियल को एक ही छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखने से निरसन आसानी से दिखाई देता है।
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