What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by (2^7\cdot3^4\cdot5)?सबसे छोटा धनात्मक (n) क्या है जिसके लिए (n!) संख्या (2^7\cdot3^4\cdot5) से विभाज्य हो?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (9)(9)
Direct answer: Option B, n=9. We need the smallest n! containing at least \\(2^7\cdot3^4\cdot5\\). For 9!, count prime factors: the factors 2, 4 and 8 contribute \\(1+2+3=6\\) twos, and 6 contributes one more, giving seven twos. The factors 3 and 6 contribute two threes, and 9 contributes two more, giving four threes. The factor 5 supplies one five. Thus 9! is divisible by the required product. For 8!, there are only six factors of 2 and three factors of 3, so it fails. Therefore every smaller factorial also fails, making n=9 smallest. Option A, 8, is insufficient. Option B works. Options C, 10, and D, 11, also work but are not smallest. Exam cue: count prime powers in n!; do not merely check whether each prime appears once.सीधा उत्तर: विकल्प B, n=9। हमें ऐसा सबसे छोटा n चाहिए जिसके लिए n! में कम-से-कम \\(2^7\cdot3^4\cdot5\\) के गुणनखंड हों। 9! में 2 की घात गिनें: 2, 4 और 8 से क्रमशः 1, 2 और 3 बार, तथा 6 से 1 बार, कुल \\(1+2+3+1=7\\) बार 2 मिलता है। 3 की घात के लिए 3 और 6 से दो बार तथा 9 से दो बार, कुल 4 बार 3 मिलता है। 5 एक बार मिलता है। इसलिए 9! आवश्यक संख्या से विभाज्य है। 8! में 2 केवल 6 बार और 3 केवल 3 बार मिलता है, इसलिए वह असफल है। अतः उससे छोटे सभी फैक्टोरियल भी असफल होंगे। विकल्प A, 8, पर्याप्त नहीं। विकल्प B सही और सबसे छोटा है। विकल्प C, 10, तथा D, 11, विभाज्य तो हैं, पर सबसे छोटे नहीं। परीक्षा संकेत: केवल अभाज्य संख्याओं की उपस्थिति नहीं, उनकी घात भी गिनें।
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