If \( \frac{(n+4)!}{(n+2)!}-\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=24 \), what is the value of (n)?यदि \( \frac{(n+4)!}{(n+2)!}-\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=24 \), तो (n) का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 99
\(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) and \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Hence, their difference is \((n+3)[(n+4)-(n+2)]=2(n+3)\). So \(2(n+3)=24\), giving \(n+3=12\) and \(n=9\). For example, if \(n=8\), the expression equals 22, not 24. Exam tip: In factorial quotients, cancel the common factorial terms and write the remaining consecutive factors.\(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\)। अतः उनका अंतर \((n+3)[(n+4)-(n+2)]=2(n+3)\) होगा। इसलिए \(2(n+3)=24\), जिससे \(n+3=12\) और \(n=9\) प्राप्त होता है। विकल्प 8 लेने पर व्यंजक का मान 22 आएगा, 24 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें।
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