What is the simplified form of \( \frac{(n+3)!-(n+2)!}{(n+1)!} \)?\( \frac{(n+3)!-(n+2)!}{(n+1)!} \) का सरल रूप क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \((n+2)^2\)\((n+2)^2\)
Using \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), the numerator becomes \((n+2)![(n+3)-1]=(n+2)!(n+2)\). Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), \(\frac{(n+2)!(n+2)}{(n+1)!}=(n+2)^2\). The option \((n+3)^2\) does not correctly account for subtracting \((n+2)!\). Exam tip: in factorial subtraction, first factor out the smaller common factorial.\((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) लिखने पर अंश \((n+2)![(n+3)-1]=(n+2)!(n+2)\) बनता है। अब \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\) रखने पर \(\frac{(n+2)!(n+2)}{(n+1)!}=(n+2)^2\) प्राप्त होता है। \((n+3)^2\) में घटाए गए \((n+2)!\) पद का प्रभाव सही ढंग से शामिल नहीं होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले घटाव में पहले छोटे फैक्टोरियल को सामान्य गुणनखंड निकालें।
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