Which factor will not appear in the expansion of ( \frac{(n+4)!}{n!} )?( \frac{(n+4)!}{n!} ) के विस्तार में कौन सा गुणक शामिल नहीं होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (n)(n)
The direct answer is option D, \(n\). Factorials are products of consecutive positive integers: \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n!\). Therefore, \(\frac{(n+4)!}{n!}=\frac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n!}{n!}=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)\). The factor \(n!\) cancels completely, and the expansion stops at \(n+1\), so \(n\) itself does not appear. Option A, \(n+1\), appears; option B, \(n+2\), appears; option C, \(n+3\), appears; option D, \(n\), does not appear. A common mistake is to start the product at \(n\); remember that dividing by \(n!\) removes all factors through \(n\).सीधा उत्तर विकल्प D, \(n\) है। फैक्टोरियल लगातार धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल होता है। इसलिए \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n!\)। अब \(\frac{(n+4)!}{n!}=\frac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n!}{n!}=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)\)। नीचे का \(n!\) पूरी तरह कट जाता है और गुणनफल \(n+1\) तक रुकता है। इसलिए \(n\) शामिल नहीं होता। विकल्प A, \(n+1\), शामिल है; विकल्प B, \(n+2\), शामिल है; विकल्प C, \(n+3\), शामिल है; विकल्प D, \(n\), शामिल नहीं है। सामान्य गलती यह है कि विद्यार्थी उत्पाद को \(n\) से शुरू कर देते हैं। याद रखें: \(n!\) से भाग देने पर \(n\) तक के सभी गुणक कट जाते हैं।
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