If \( \frac{(n+3)!}{n!}-\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=270 \), what is the value of (n)?यदि \( \frac{(n+3)!}{n!}-\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=270 \), तो (n) का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 88
\(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\) and \(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+2)(n+1)\). Their difference is \((n+2)(n+1)[(n+3)-n]=3(n+2)(n+1)\). Hence, \((n+2)(n+1)=90\). Since \(10\times9=90\), we get \(n+2=10\), so \(n=8\). For option 9, the product would be \(11\times10=110\), so it is not correct. Exam tip: In factorial fractions, first cancel common factorial terms and write the remaining consecutive factors.\(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\) और \(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+2)(n+1)\)। अतः उनका अंतर \((n+2)(n+1)[(n+3)-n]=3(n+2)(n+1)\) होगा। इसलिए \((n+2)(n+1)=90\)। चूँकि \(10\times9=90\), इसलिए \(n+2=10\) और \(n=8\)। विकल्प 9 के लिए गुणनफल \(11\times10=110\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में पहले समान पदों को काटकर लगातार गुणनखंडों के रूप में लिखें।
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