What is the simplified form of ( \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!} )?( \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!} ) का सरल रूप क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (n(n+2))(n(n+2))
Direct answer: Option B, \\(n(n+2)\\). Rewrite both factorials using n!: \\( (n+1)!=(n+1)n!\\), and \\(n!=n(n-1)!\\). The numerator becomes \\( (n+1)!+n!=(n+1)n!+n!=n![(n+1)+1]=n!(n+2)\\). Dividing by \\( (n-1)!\\), and using \\(n!/(n-1)!=n\\), gives \\(n(n+2)\\). Option A, n^2, misses the extra 2n term. Option B matches the derived result. Option C, n(n+1), would come from incorrectly treating the numerator as only (n+1)!, ignoring n!. Option D, n+2, omits the factor n from the factorial ratio. The safest method is to take n! common before cancelling. This also requires the usual factorial domain where n is a positive integer.सीधा उत्तर: विकल्प B, \\(n(n+2)\\)। दोनों फैक्टोरियल को n! के रूप में लिखें: \\( (n+1)!=(n+1)n!\\) और \\(n!=n(n-1)!\\)। अंश \\( (n+1)!+n!=(n+1)n!+n!=n![(n+1)+1]=n!(n+2)\\) बनता है। अब इसे \\( (n-1)!\\) से भाग देने पर \\(n!/(n-1)!=n\\) मिलता है, इसलिए परिणाम \\(n(n+2)\\) है। विकल्प A, n^2, में अतिरिक्त 2n वाला भाग छूट जाता है। विकल्प B ठीक यही परिणाम है। विकल्प C, n(n+1), ऐसा तब मिलता जब केवल (n+1)! लिया जाता और n! को भूल जाते। विकल्प D, n+2, में फैक्टोरियल अनुपात से आने वाला गुणक n छूट जाता है। सबसे सुरक्षित तरीका है पहले n! को सामान्य गुणक बनाना और फिर काटना। यहाँ फैक्टोरियल के लिए n धनात्मक पूर्णांक माना जाता है।
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