If ( \frac{n!}{(n-3)!}=504 ), what is the positive value of (n)?यदि ( \frac{n!}{(n-3)!}=504 ), तो (n) का धनात्मक मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (9)(9)
Direct answer: Option C, \\(n=9\\). Expand the factorial ratio by cancelling \\( (n-3)!\\): \\(n!/(n-3)!=n(n-1)(n-2)\\). Therefore solve \\(n(n-1)(n-2)=504\\). Testing consecutive factors, \\(9\cdot8\cdot7=72\cdot7=504\\), so n=9. Option A, n=7, gives \\(7\cdot6\cdot5=210\\), not 504. Option B, n=8, gives \\(8\cdot7\cdot6=336\\), not 504. Option C gives exactly 504 and is positive. Option D, n=10, gives \\(10\cdot9\cdot8=720\\), too large. Factorial ratios are products of consecutive descending integers, so looking near the cube root of 504 is useful; \\(8^3=512\\), which points to 9, 8, 7. Memory cue: cancel factorials before calculating.सीधा उत्तर: विकल्प C, \\(n=9\\)। फैक्टोरियल को खोलकर समान भाग काटें: \\(n!/(n-3)!=n(n-1)(n-2)\\)। इसलिए हमें \\(n(n-1)(n-2)=504\\) हल करना है। लगातार घटते गुणकों में \\(9\cdot8\cdot7=72\cdot7=504\\), इसलिए n=9 है। विकल्प A, n=7, पर गुणनफल \\(7\cdot6\cdot5=210\\) आता है, 504 नहीं। विकल्प B, n=8, पर \\(8\cdot7\cdot6=336\\) आता है। विकल्प C ठीक 504 देता है और धनात्मक भी है। विकल्प D, n=10, पर \\(10\cdot9\cdot8=720\\) आता है, जो बहुत बड़ा है। ऐसे प्रश्नों में फैक्टोरियल अनुपात लगातार घटते हुए गुणकों का गुणनफल होता है। 504 के पास घनमूल देखकर 9, 8, 7 का अनुमान लगाया जा सकता है। याद रखें: पहले फैक्टोरियल काटें, फिर गुणा करें।
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