When (n=3), what is the value of ( \frac{(n+5)!}{(n+1)!} )?(n=3) होने पर ( \frac{(n+5)!}{(n+1)!} ) का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (1680)(1680)
The direct answer is option C, 1680. Substitute \(n=3\): \(n+5=8\) and \(n+1=4\). Thus \(\frac{(n+5)!}{(n+1)!}=\frac{8!}{4!}\). Cancel \(4!\) from the factorials: \(\frac{8!}{4!}=8\times7\times6\times5=1680\). Option C is correct. Option A, 840, is exactly half of the correct product and may result from forgetting one factor or mishandling \(2!\)-like cancellation. Option B, 1260, does not equal the required consecutive product. Option D, 2016, is also not the value of \(8\times7\times6\times5\). The safe rule is \(\frac{m!}{r!}=m(m-1)\cdots(r+1)\); after substituting, write every remaining factor before multiplying.सीधा उत्तर विकल्प C, 1680, है। \(n=3\) रखने पर \(n+5=8\) और \(n+1=4\) मिलता है। इसलिए \(\frac{(n+5)!}{(n+1)!}=\frac{8!}{4!}\)। फैक्टोरियल काटने पर \(\frac{8!}{4!}=8\times7\times6\times5=1680\)। अतः विकल्प C सही है। विकल्प A, 840, सही गुणनफल का आधा है और एक गुणक भूलने या गलत कटौती से मिल सकता है। विकल्प B, 1260, आवश्यक लगातार गुणकों के गुणनफल के बराबर नहीं है। विकल्प D, 2016, भी \(8\times7\times6\times5\) का मान नहीं है। सुरक्षित नियम है \(\frac{m!}{r!}=m(m-1)\cdots(r+1)\)। पहले मान रखकर बचे हुए सभी गुणक लिखें, फिर गुणा करें; इससे कोई गुणक छूटने की संभावना कम होती है।
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