If (n!)^2/[(n−1)!(n+1)!] = 5/6, what is the value of n?यदि (n!)^2/[(n−1)!(n+1)!] = 5/6, तो n का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 55
Use the two adjacent-factorial identities (n−1)! = n!/n and (n+1)! = (n+1)n!. The denominator becomes [(n!/n)((n+1)n!)] = ((n+1)/n)(n!)^2. Consequently, the given fraction simplifies to n/(n+1). Equating this to 5/6 gives n/(n+1)=5/6. Cross-multiplication yields 6n = 5n+5, so n=5. Substitution confirms that 5!^2/(4!·6!) = 5/6, so option A is correct. The other choices would give 6/7, 7/8, and 8/9 respectively, none of which equals 5/6. The key step is simplifying before substituting numerical values.यहाँ आसन्न फैक्टोरियल के संबंध (n−1)! = n!/n और (n+1)! = (n+1)n! लागू करें। हर को [n!/n]×[(n+1)n!] = ((n+1)/n)(n!)^2 के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए दी गई भिन्न सरल होकर n/(n+1) बनती है। अब n/(n+1) = 5/6 रखने पर क्रॉस-गुणन से 6n = 5n+5 मिलता है। अतः n = 5। जाँच करने पर 5!^2/(4!×6!) = 5/6 आता है, इसलिए विकल्प A सही है। यदि n के स्थान पर 6, 7 या 8 रखें, तो क्रमशः 6/7, 7/8 और 8/9 प्राप्त होंगे, जो 5/6 के बराबर नहीं हैं। इस प्रश्न में मुख्य विचार बड़े फैक्टोरियल खोलने के बजाय संबंधों से उनका सरलीकरण करना है।
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