If ( \frac{(n+1)!-n!}{(n-1)!}=49 ), what is the value of (n)?यदि ( \frac{(n+1)!-n!}{(n-1)!}=49 ), तो (n) का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (7)(7)
Use the factorial identity \\(n!=n(n-1)!\\). The numerator is \\((n+1)!-n!= (n+1)n!-n! = n\,n!\\). Since \\(n!=n(n-1)!\\), this becomes \\(n^2(n-1)!\\). Dividing by \\((n-1)!\\), the expression simplifies to \\(n^2\\), provided the factorials are defined. Thus \\(n^2=49\\), giving \\(n=7\\) or \\(n=-7\\) algebraically.
In factorial notation for this school problem, \\(n\\) is a nonnegative integer, and the denominator requires \\(n\\ge1\\). Therefore only \\(n=7\\) is allowed. Option C is correct. The negative root is rejected because negative integers do not have the required ordinary factorial interpretation here.तथ्य \\(n!=n(n-1)!\\) का उपयोग करें। अंश \\((n+1)!-n! = (n+1)n!-n! = n\,n!\\) होगा। अब \\(n!=n(n-1)!\\) रखने पर अंश \\(n^2(n-1)!\\) बनता है। \\((n-1)!\\) से भाग देने पर पूरा व्यंजक \\(n^2\\) हो जाता है, बशर्ते फैक्टोरियल परिभाषित हों। इसलिए \\(n^2=49\\), जिससे बीजीय रूप से \\(n=7\\) या \\(n=-7\\) मिलता है।
फैक्टोरियल वाले ऐसे प्रश्नों में \\(n\\) को धनात्मक पूर्णांक माना जाता है और हर में \\((n-1)!\\) होने से \\(n\\ge1\\) होना चाहिए। इसलिए केवल \\(n=7\\) स्वीकार्य है। अतः विकल्प C सही है। ऋणात्मक मूल \\(n=-7\\) साधारण फैक्टोरियल की परिभाषा में मान्य नहीं है।
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