What is ( \frac{(2n)!}{(2n-2)!} ) equal to?( \frac{(2n)!}{(2n-2)!} ) किसके बराबर है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (2n(2n-1))(2n(2n-1))
The direct answer is B, \(2n(2n-1)\). Expand the numerator only until the denominator appears: \((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)!\). Therefore, \(\frac{(2n)!}{(2n-2)!}=\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)!}{(2n-2)!}=2n(2n-1)\). Option A, \(2n\), omits one remaining factor, namely \(2n-1\). Option B is correct because exactly two factors remain after cancellation. Option C, \(2n(2n+1)\), uses a factor larger than the first numerator factor and does not match factorial order. Option D, \((2n-1)(2n-2)\), starts one step too low and includes a factor that cancels. The exam rule is: when factorials differ by two, the answer is the product of the two descending factors beginning with the larger top number.सीधा उत्तर B, \(2n(2n-1)\) है। अंश को तब तक खोलें जब तक हर में दिया गया फैक्टोरियल दिखाई न दे: \((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)!\)। इसलिए \(\frac{(2n)!}{(2n-2)!}=\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)!}{(2n-2)!}=2n(2n-1)\)। विकल्प A, \(2n\), गलत है क्योंकि इसमें बचा हुआ दूसरा गुणक \(2n-1\) छूट गया है। विकल्प B सही है क्योंकि कटौती के बाद ठीक दो गुणक बचते हैं। विकल्प C, \(2n(2n+1)\), गलत है क्योंकि इसमें ऊपर की पहली संख्या से बड़ी संख्या ले ली गई है और फैक्टोरियल का क्रम नहीं मिलता। विकल्प D, \((2n-1)(2n-2)\), गलत है क्योंकि यह एक कदम नीचे से शुरू होता है और \((2n-2)!\) का गुणक शामिल कर देता है, जो कट जाना चाहिए। नियम: फैक्टोरियल में दो का अंतर हो तो बड़े शीर्ष पद से शुरू होने वाले दो घटते गुणकों को गुणा करें।
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