What is the simplified form of (n+3)!/(n+1)! + (n+2)!/n!?(n+3)!/(n+1)! + (n+2)!/n! का सरल रूप क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 2(n+2)^22(n+2)^2
The governing concept is factorial expansion and algebraic factorisation. Expand each quotient only until the denominator cancels: (n+3)!/(n+1)! = (n+3)(n+2), because (n+3)! = (n+3)(n+2)(n+1)!; similarly, (n+2)!/n! = (n+2)(n+1). Add the results: (n+3)(n+2) + (n+2)(n+1). Taking the common factor (n+2) gives (n+2)[(n+3)+(n+1)] = (n+2)(2n+4) = 2(n+2)(n+2) = 2(n+2)^2. Therefore option B is correct. Option A misses the factor 2, option C is only the bracket factor and omits multiplication by (n+2), and option D does not represent the correct expansion.मुख्य अवधारणा फैक्टोरियल का विस्तार करके समान गुणक काटना और फिर बीजीय गुणनखंड करना है। पहले भाग में (n+3)! = (n+3)(n+2)(n+1)! लिखने पर (n+3)!/(n+1)! = (n+3)(n+2) मिलता है। दूसरे भाग में (n+2)! = (n+2)(n+1)n! होने से (n+2)!/n! = (n+2)(n+1) होगा। अब जोड़ने पर (n+3)(n+2) + (n+2)(n+1) मिलता है। समान गुणक (n+2) बाहर लेने पर (n+2)[(n+3)+(n+1)] = (n+2)(2n+4) = 2(n+2)^2 प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A में 2 छूट गया है, विकल्प C केवल कोष्ठक के अंदर का परिणाम है और (n+2) से गुणा नहीं किया गया, जबकि विकल्प D सही विस्तार से प्राप्त नहीं होता।
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