What is the simplified form of \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}-\frac{(n+2)!}{n!}\)?\(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}-\frac{(n+2)!}{n!}\) का सरल रूप क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(2(n+2)\)\(2(n+2)\)
Since \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\), \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Similarly, \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Hence, the expression becomes \((n+2)[(n+3)-(n+1)]=2(n+2)\). The option \(n+2\) incorrectly omits the difference factor 2. Exam tip: In factorial fractions, expand only until the denominator factorial and then cancel common factors.\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\), इसलिए \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\)। इसी प्रकार, \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\)। अतः दिया गया व्यंजक \((n+2)[(n+3)-(n+1)]=2(n+2)\) है। \(n+2\) वाला विकल्प समान गुणनखंड निकालने के बाद प्राप्त अंतर 2 को छोड़ देता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके पदों को निरस्त करें।
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