If ¹³C₄ = ¹³Cₘ and m ≠ 4, what is m?यदि ¹³C₄ = ¹³Cₘ और m ≠ 4 है, तो m का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 99
The governing concept is the symmetry property of combinations: ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ. It means that selecting r objects from n objects has the same count as leaving out n−r objects. Here n = 13 and r = 4, so the complementary lower index is 13 − 4 = 9. Therefore ¹³C₄ = ¹³C₉, and because the question explicitly says m ≠ 4, the required value is m = 9. Thus option B is correct. Option A gives ¹³C₈, whose complementary index is 5, not 4. Likewise, the complements of 10 and 11 are 3 and 2. The symmetry identity establishes the answer directly without expanding factorials, and the condition m ≠ 4 removes the original, obvious index.यह प्रश्न संयोजनों के सममिति गुण पर आधारित है: ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ। इसका अर्थ है कि n वस्तुओं में से r वस्तुएँ चुनने के तरीकों की संख्या, n−r वस्तुओं को छोड़ने के तरीकों की संख्या के बराबर होती है। यहाँ n = 13 और r = 4 है, इसलिए पूरक निचला सूचक 13 − 4 = 9 होगा। अतः ¹³C₄ = ¹³C₉ और दिए गए m ≠ 4 प्रतिबंध के कारण m = 9। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A का पूरक 13 − 8 = 5 है, जबकि विकल्प C और D के पूरक क्रमशः 3 और 2 हैं; वे 4 से मेल नहीं खाते। इस परिणाम के लिए फैक्टोरियल का विस्तार करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि सममिति सर्वसमिका सीधे उत्तर देती है।
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