How many subsets with exactly (5) elements does a set of (12) elements have?(12) तत्वों वाले समुच्चय के ठीक (5) तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या कितनी है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (792)(792)
Direct answer: Option A, 792 subsets. A subset with exactly 5 elements is formed by choosing 5 different elements from the 12-element set. Order does not matter in a subset, so use the combination \(\binom{12}{5}\). Compute it as \(\frac{12\times11\times10\times9\times8}{5\times4\times3\times2\times1}=792\). Option A, 792, is therefore correct. Option B, 924, corresponds to a different combination value and is not \(\binom{12}{5}\). Option C, 990, and option D, 1188, are also incorrect numerical values. We do not multiply by arrangements because the same five elements make only one subset regardless of their order. A useful check is symmetry: \(\binom{12}{5}=\binom{12}{7}\), but neither means choosing an ordered list. Memory cue: “subset” means choose, not arrange; use \(nCr\).सीधा उत्तर: विकल्प A, 792 उपसमुच्चय। ठीक 5 तत्वों वाला उपसमुच्चय बनाने का अर्थ है 12 तत्वों में से 5 अलग-अलग तत्व चुनना। उपसमुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता, इसलिए संयोजन \(\binom{12}{5}\) लगाएगा। इसका मान \(\frac{12\times11\times10\times9\times8}{5\times4\times3\times2\times1}=792\) है। इसलिए विकल्प A, 792, सही है। विकल्प B, 924, \(\binom{12}{5}\) का मान नहीं है। विकल्प C, 990 और विकल्प D, 1188 भी गलत संख्याएँ हैं। हमें व्यवस्थाओं से गुणा नहीं करना चाहिए, क्योंकि समान 5 तत्व अलग-अलग क्रम में लिखे जाएँ तब भी एक ही उपसमुच्चय बनता है। एक उपयोगी जाँच है \(\binom{12}{5}=\binom{12}{7}\), पर इसका अर्थ क्रमबद्ध सूची बनाना नहीं है। याद रखें: “उपसमुच्चय” में चुनना होता है, सजाना नहीं; इसलिए \(nCr\) प्रयोग करें।
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