How many non-negative integer solutions does (x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=13) have if each (x_i\leq5)?समीकरण (x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=13) के अऋण पूर्णांक हलों की संख्या कितनी है यदि हर (x_i\leq5) हो?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (104)(104)
Without the upper restrictions, the number of non-negative solutions of \(x_1+x_2+x_3+x_4=13\) is found by stars and bars: \(\binom{13+4-1}{4-1}=\binom{16}{3}=560\). We must remove solutions in which at least one variable is 6 or more. If a particular variable is at least 6, subtract 6 from it; the remaining sum is 7, giving \(\binom{10}{3}=120\) solutions for each variable.
There are four such single-variable cases, so subtract \(4\times120=480\). Two variables can both be at least 6 only when the remaining sum is 1, giving \(\binom{4}{3}=4\) solutions for each of the \(\binom{4}{2}=6\) pairs, or 24 total. Three variables cannot reach 6 because their minimum sum would be 18. Thus \(560-480+24=104\), so option B is correct.ऊपरी सीमा हटाने पर \(x_1+x_2+x_3+x_4=13\) के अऋण पूर्णांक हलों की संख्या सितारे और छड़ विधि से \(\binom{13+4-1}{4-1}=\binom{16}{3}=560\) है। अब ऐसे हल घटाने हैं जिनमें कोई एक चर कम से कम 6 हो। किसी निश्चित चर में से 6 घटाने पर शेष योग 7 रहता है, जिसके \(\binom{10}{3}=120\) हल हैं।
चार चरों के लिए ऐसे मामले \(4\times120=480\) हैं, इसलिए इन्हें घटाएँ। दो चर एक साथ कम से कम 6 हो सकते हैं; 12 घटाने पर शेष योग 1 मिलता है, जिसके \(\binom{4}{3}=4\) हल हैं। ऐसे चर-युग्म \(\binom{4}{2}=6\) हैं, इसलिए 24 जोड़ना होगा। तीन चर कम से कम 6 हों तो योग 18 होगा, जो संभव नहीं है। अतः \(560-480+24=104\), विकल्प B सही है।
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