A grid path must pass through a point reached after 3 right and 2 up moves. The total journey has 7 right and 4 up moves. How many such paths are there?एक ग्रिड पथ को उस बिंदु से होकर जाना है जहाँ पहुँचने के लिए 3 दाईं और 2 ऊपर चालें चलनी पड़ती हैं। पूरी यात्रा में 7 दाईं और 4 ऊपर चालें हैं। ऐसे कितने पथ संभव हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 150150
The required point divides every valid route into two independent parts. In the first part, the path contains 3 right moves and 2 up moves, five moves in all. Their order can be chosen in 5C3 = 10 ways. From that point to the destination, the remaining moves are 7 − 3 = 4 right and 4 − 2 = 2 up, six moves in all. This second part can be arranged in 6C4 = 15 ways, equivalently 6C2. By the multiplication principle, each first-part route can be paired with each second-part route, giving 10 × 15 = 150. Therefore option A is correct; adding the counts would be inappropriate because both parts must occur together.अनिवार्य बिंदु प्रत्येक वैध रास्ते को दो स्वतंत्र भागों में बाँट देता है। पहले भाग में 3 दाईं और 2 ऊपर की चालें हैं, अर्थात कुल 5 चालें। इनमें 3 दाईं चालों के स्थान चुनने के तरीके 5C3 = 10 हैं। उस बिंदु से अंतिम स्थान तक शेष चालें 7 − 3 = 4 दाईं और 4 − 2 = 2 ऊपर की हैं, यानी कुल 6 चालें। दूसरे भाग को व्यवस्थित करने के तरीके 6C4 = 15, अथवा 6C2, होंगे। गुणन सिद्धांत के अनुसार हर पहले-भाग के रास्ते को हर दूसरे-भाग के रास्ते के साथ जोड़ा जा सकता है। इसलिए कुल रास्ते 10 × 15 = 150 हैं और विकल्प A सही है। दोनों संख्याओं को जोड़ना गलत होगा, क्योंकि दोनों भाग एक ही रास्ते में आवश्यक हैं।
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