Among (13) points, (5) points lie on one line and (4) points lie on another line. These two groups are disjoint and no other (3) points are collinear. How many triangles can be formed?(13) बिंदुओं में (5) बिंदु एक रेखा पर और (4) बिंदु दूसरी रेखा पर हैं। ये दोनों समूह अलग हैं और अन्य कोई (3) बिंदु सरल रेखा पर नहीं हैं। कितने त्रिभुज बनेंगे?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (272)(272)
Any three of the thirteen points would normally determine a triangle, giving \\(\\binom{13}{3}\\) selections. However, three points on the same straight line do not form a triangle because they are collinear. The five points on the first line create \\(\\binom{5}{3}\\) invalid selections, and the four points on the second line create \\(\\binom{4}{3}\\) invalid selections. The two groups are disjoint, so these invalid cases do not overlap.
Calculate the total: \\(\\binom{13}{3}=286\\). The invalid selections are \\(\\binom{5}{3}=10\\) and \\(\\binom{4}{3}=4\\), for a total of 14. Hence the number of triangles is \\(286-10-4=272\\). The condition about no other three collinear ensures that no further exclusions are needed. Therefore option B is correct.सामान्य रूप से तेरह बिंदुओं में से कोई भी तीन बिंदु चुनने पर \\(\\binom{13}{3}\\) चयन मिलेंगे। परंतु एक ही सीधी रेखा पर स्थित तीन बिंदु त्रिभुज नहीं बनाते, क्योंकि वे समरेखीय होते हैं। पहली रेखा के पाँच बिंदुओं से ऐसे अमान्य चयन \\(\\binom{5}{3}\\) हैं और दूसरी रेखा के चार बिंदुओं से \\(\\binom{4}{3}\\) हैं। दोनों समूह अलग हैं, इसलिए इन अमान्य मामलों को दोबारा नहीं गिना जाता।
कुल चयन \\(\\binom{13}{3}=286\\) हैं। अमान्य चयन \\(\\binom{5}{3}=10\\) और \\(\\binom{4}{3}=4\\) हैं, इसलिए कुल 14 घटाने होंगे। अतः त्रिभुजों की संख्या \\(286-10-4=272\\) है। कोई अन्य तीन बिंदु समरेखीय नहीं हैं, इसलिए और कुछ घटाने की आवश्यकता नहीं है। इसलिए विकल्प B सही है।
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