A team of (4) is to be formed from (9) scientists, but two rival scientists cannot be together. How many teams are possible?(9) वैज्ञानिकों में से (4) का दल बनाना है, पर दो विरोधी वैज्ञानिक साथ नहीं हो सकते। कितने दल बनेंगे?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (105)(105)
First count all groups of four that can be selected from nine scientists, without considering the restriction. Then remove the groups that contain both rival scientists. A team is invalid exactly when both rivals are present; the other two members can be any two of the remaining seven scientists.
The total number is \\(\binom{9}{4}=126\\). If both rivals are included, two additional members must be chosen from the remaining seven, giving \\(\binom{7}{2}=21\\) invalid teams. Hence valid teams number \\(126-21=105\\). Therefore option A is correct. Subtracting only one team would ignore the many possible choices for the other members.पहले नौ वैज्ञानिकों में से चार सदस्यों वाले सभी दल गिनते हैं, चाहे विरोधी वैज्ञानिक साथ हों या नहीं। फिर उन दलों को हटाते हैं जिनमें दोनों विरोधी वैज्ञानिक शामिल हैं। ऐसा दल तभी अमान्य है जब दोनों विरोधी साथ हों; बाकी दो सदस्यों को शेष सात वैज्ञानिकों में से चुना जा सकता है।
सभी दलों की संख्या \\(\binom{9}{4}=126\\) है। दोनों विरोधियों को पहले से चुन लेने पर बाकी दो सदस्य चुनने के \\(\binom{7}{2}=21\\) तरीके होंगे। इसलिए मान्य दलों की संख्या \\(126-21=105\\) है। अतः विकल्प A सही है। केवल एक दल घटाना गलत होगा, क्योंकि अन्य दो सदस्यों के कई चयन संभव हैं।
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